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乱人 サイドテーブル 特注カラー セカンド右 ニッサン プレサージュ U30 1998年~

2008/05/28 若野友一郎

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バナッハ=タルスキー(Banach-Tarski)の定理とは、

「球をいくつかの部分に分割し、それらをうまく組み替えることで、元の球と同じ大きさの球を2つ作ることができる」

という定理です。はい、無茶苦茶ですね。その通りです。 とはいえ [Projectμ] プロジェクトμ ブレーキパッド レーシングN+ フロント用 アウディ A8 L4.2 FSI クワトロ 4HCDRL 10/12~ 本州は送料無料 北海道は送料500円(税別) 沖縄・離島は送料1000円(税別)、定理と呼ばれているように、これはきちんと証明された命題です。 このような無茶苦茶が、なぜ大手をふってまかり通っているのか、その辺を考えていきます。 今後この定理をBT定理と呼びます。

なお、BT定理の証明は、 4%OFFクーポン付 【D-1226】【D4C】株式会社デルタ純正HIDバナーD4R・D4Sどちらにも適合するD4CWhite Spark 6500K (車検対応)【コンビニ受取対応商品】 にあります。私もこれで勉強しました。著者の皆様に感謝します。 本文書は、証明の前半を直感的に説明するものになっている・・・ と信じていますが、間違いやコメントなど頂けると幸いです

選択公理

BT定理は、選択公理と呼ばれる一種の仮定を用いて証明されます。 常識ある一般人が、

、ここで初めてBT定理と選択公理を聞いたなら、
「ならば、その選択公理とやらが間違ってるんだろう」

と思うのは当然です。実は私も長い間、このBT定理を根拠として、選択公理には懐疑的でした。 しかし最近、この定理の証明を少し勉強する過程で、気分がちょっと変わってきたのです。

合同

2つの図形が、回転や平行移動でピッタリ重なるとき、その2つは合同であるといいます。 しばらくの間、平面図形の回転だけを考えることとします。 たとえば、円周の上半分と下半分を考えてみると、180度回転すればピッタリ重なりますね。 だから、この2つは合同です。

分割合同

図形Aを、A1とA2に分けたとします。また、図形Bを、B1とB2に分けたとします。 A1を適当に回転させて、B1とピッタリ重ねることができたとします(つまりA1とB1は合同)。 また、A2とB2も合同であったとします。 このとき、図形Aと図形Bは分割合同であるといいます。BT定理は、

「大きさの異なる2つの球が 、分割合同である」

ことを証明します。大きさが異なるのだから、当然合同ではありません。 しかし、分割合同であると主張しているわけです。
つまり、球をいくつかの部品にわけ、それぞれを適当に回転または平行移動させて (このときそれぞれの部品について、回転する角度や平行移動の方向は異なっても良い) 最終的に別の大きさの球が作れるといっているわけです。

選択公理を使わなくても・・

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半径1の円周Sを考えます。Sを絶対値1の複素数全体の集合と同一視できます。 Sから1点{1}を除いた集合S'を考えます。このとき、SとS'は合同ではありません。 S'をどのように回転させても、穴がどこかに必ず出来るからです。 しかし、SとS'は分割合同であることが証明できます。
証明のため、まずS'をAとBの2つに分けます。

A={exp(in); iは虚数単位、n=1,2,3,...}  BはS'からAを除いた集合

とします。イメージとしては M.I.C Q45 インフィニティ ダイヤキルトレザーピラー 2P ピンク 塗装済み、S'上の点に、一定の角度ごとに1番、2番、3番と 番号を振っていった感じです。
ちなみに{1}は0番に対応しますが、S'には{1}は含まれないため、0番はありません。 番号が付いている点の集合がAです。番号は無限に続きますが、可算個しかないので 柿本改 マフラー GTbox 06&S アルトラパン X/G 2WD 〈DBA-HE22S〉 型式:K6A 年式:10/8~ 【S44325】、 集合Aは集合S'のごく一部に過ぎません(Aは可算集合で、Bは非可算集合)。 点の集合Aを、1[ラジアン]だけ右に回転させます。 言葉で言えば、n番がn-1番になるように回転します。式では、exp(-i)をかけることに なります。すると
A'={exp(in); n=0,1,2,3,...}

を得ます。A'はAを回転して得られたものなので、A'とAは合同です。 ここでAとA'をじっくり見比べると、まずAの要素はすべて 90-92年式 ZZ-R600 スウェッジライン/SWAGE LINE フロント ブレーキホース キット アルミ、A'にも含まれています。 しかし、Aには存在せずA'には存在する要素があります。それは0番、 {exp(0)}すなわち{1}です。言ってみれば、A'=A+{1} です。 ですから、集合A'と集合Bを合わせることで、完全な円周Sが作られます。
まとめると、
S'=A+B かつ S=A'+B かつ AとA'は合同 (かつ BとBは合同)

以上のことから、S'とSが分割合同であることが証明できます。

なんじゃそりゃ

はい、それが当然の反応です。 S'を分割して、その一部を回転させたら、Sにピッタリ一致したというのです。 穴であった{1}は一体どこに消えたのか。誰が{1}を埋めたのか。
答えは簡単で、{exp(i)}が回転exp(-i)によって{1}にやってきただけです。
しかし、{1}は回転によって{exp(-i)}に移動するので、やはりそこに 穴があるのではないか?
そんなことはありません。exp(-i)はAの要素でも A'の要素でもなく、最初からBの要素なのです。

分割のイメージ

この証明には、選択公理は出てきません。しかし、すでに十分直感には反しています。 重要なことは、BT定理でいう分割とは、こういう分割なのです。 すべての困難は、相手が無限集合であるということに起因しています。無限集合を 2つに分割するあたりで、もうすでに人間の直感は破綻をきたすと言って いいでしょう。
実はBT定理の証明は、SとS'が分割合同であることのほかにも、多くのことが必要です。 しかし私個人としては、この証明を理解した時点で、BT定理でいう分割がイメージでき、 それほど無茶苦茶なことは言っていないように思えました。

選択公理は、独立した公理であることが示されているので、使うかどうかは自由です。 しかし、すくなくともBT定理を根拠に、この公理に否定的になっていたのは、間違いだったと 私は今は考えています。

蛇足とは思いますが、このような分割は現実の物理問題としては絶対に不可能です。 我々の常識が「物理現象に対する常識」である限り、BT定理と常識はまったく矛盾しません。 むしろ Bonamici Racing ボナミーチレーシング セパレートハンドル HANDLE BARS サイズ(直径):52mm、数学的には可能な分割が、実際には決して起きないことを知っている、 という意味では、我々の常識はBT定理の上を行っている、

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、と言えなくもないかも


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